Question

设f(x)=6cos2x-2

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若锐角α满足f(α)=3-2

3

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化简f（x）的解析式为2

3

cos(2x+

π

6

)+3，可得f（x）的最小正周期．
（II）由f(α)=3-2

3

得 cos(2α+

π

6

)=-1，再由α的范围得到2α+

π

6

=π，求出锐角α的值，即可得到tanα的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=6

(1+cos2x)

2

-

3

sin2x=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，…（3分）
故f（x）的最小正周期T=π．…（4分）
由-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ得f（x）的单调递增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

](k∈Z)．…（6分）
（II）由f(α)=3-2

3

得 2

3

cos(2α+

π

6

)+3=3-2

3

，故cos(2α+

π

6

)=-1．
又由0＜α＜

π

2

得

π

6

＜2α+

π

6

＜π+

π

6

，因此2α+

π

6

=π，∴α=

5π

12

．
则tanα=tan

5π

12

=tan(

π

6

3+

π

4

)=

3 3 +1

1- 3 3

=2+

3

．…（12分）

点评：本题考查两角和的正切公式、正弦公式，余弦函数的周期性和单调性，是一道中档题．