Question

设f(x)=6cos2x-2

3

sinxcosx；
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f(A)=3-2

3

，B=

π

12

，求

a2+b2+c2

ab

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，从而可求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，于是f（A）=3-2

3

⇒sin（2A-

π

3

）=1，从而可求得A=

5π

12

，C=

π

2

，利用正弦定理与余弦定理的结合可求得

a2+b2+c2

ab

的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx
=3（1+cos2x）-

3

sin2x
=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
得：

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（A）=-2

3

sin（2A-

π

3

）+3=3-2

3

，
∴sin（2A-

π

3

）=1，又A为三角形中的内角，
∴A=

5π

12

，又B=

π

12

，
∴C=π-（A+B）=

π

2

，
∴

a2+b2+c2

ab

=

2c2

ab

=

2(sinc)2

sinAsinB

=

2×1

cosBsinB

=

2

1 2 sin2B

=

4

sin π 6

=8．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与正弦定理与余弦定理的综合应用，属于中档题．