Question

设f(x)=6cos2x-

3

sin2x
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）求f(

π

12

)的值；
（3）求f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简，可得f（x）=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，结合余弦函数的图象与性质加以计算，可得f（x）的最大值及最小正周期；
（2）由（1）求得的f（x）的表达式，代入

π

12

的值即可算出f(

π

12

)的值；
（3）根据余弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调减区间．

解答：解：（1）∵f(x)=6cos2x-

3

sin2x，
∴f(x)=6•

1+cos2x

2

-

3

sin2x=3cos2x-

3

sin2x+3
=2

3

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+3=2

3

cos(2x+

π

6

)+3
因此，f（x）的最大值为2

3

+3，最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）得f（x）=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，
∴f(

π

12

)=2

3

cos

π

3

+3=

3

+3；
（3）设2kπ≤2x+

π

6

≤π+2kπ，解得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．
∴f（x）的单调减区间为[-

π

12

+kπ

5π

12

+kπ]．

点评：本题已知三角函数的表达式，求函数的最值、周期与单调区间．着重考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．