Question

设f(x)=6cos2x-2

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得y=g（x）的图象，求F(x)=

g(x)-3

2 3 x

在x=

π

4

处的切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和的余弦公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）型函数，再利用周期公式求函数的最小正周期，利用余弦函数图象性质，通过解不等式可得函数的单调增区间
（Ⅱ）先由函数的图象变换法则得函数y=g（x）的解析式，从而确定函数F（x）的解析式，再求函数F（x）的导函数F′（x），最后由导数的几何意义求出F（x）在x=

π

4

处的切线斜率，即可得切线方程

解答：解：（Ⅰ）f(x)=6

(1+cos2x)

2

-

3

sin2x=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，
故f（x）的最小正周期T=π
由-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ得f（x）的单调递增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

](k∈Z)．
（Ⅱ）由题意：g(x)=2

3

cos[2(x-

π

3

)+

π

6

]+3=2

3

sin2x+3，
∴F(x)=

g(x)-3

2 3 x

=

sin2x

x

，F′(x)=

2xcos2x-sin2x

x2

，
因此切线斜率k=F′(

π

4

)=-

16

π2

，
切点坐标为(

π

4

，

4

π

)，
故所求切线方程为y-

4

π

=-

16

π2

(x-

π

4

)，
即16x+π²y-8π=0．

点评：本题考察了二倍角公式，两角和的余弦公式，三角函数的图象和性质，导数的四则运算，导数的几何意义等基础知识