Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ根据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）得出x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根列出关于a，b的等式再根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实根得到：△=0求得a值，从而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a配方后即可求得其最大值为

-a2-4a-1

a

再由题意得出关于a的不等关系，即可求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
∴x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根
∴

b+2 a =-4 c a =3

∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根
∴△=b²-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）²-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴a=-

1

5

或a=1（舍）
∴a=-

1

5

，b=-

6

5

，c=-

3

5

∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a=a(x-

2a+1

a

)-

(2a+1)2

a

+3a=

-a2-4a-1

a

∵a＜0，
∴f（x）的最大值为

-a2-4a-1

a

∵f（x）的最大值为正数
∴

a＜0 -a2-4a-1 a ＞0

∴

a＜0 a2+4a+1＞0

解得a＜-2-

3

或-2+

3

＜a＜0
∴所求实a的取值范围是(-∞，-2-

3

)∪(-2+

3

，0)

点评：本小题主要考查函数的最值及其几何意义、函数与方程的综合运用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，与转化思想．属于基础题．