Question

【题目】已知，其中.

（1）求函数的极大值点；

（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导，对进行四类讨论，得到极大值的情况；（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ，结合（1）的单调性情况，求，得到的取值范围.

试题解析：

（1）由已知 ，

当，即时， 在上递减，在上递增，无极大值；

当，即时， 在上递增，在上递减，在上递增，所以在处取极大值；

当，即时， 在上递增，无极大值；

当时，即时， 在上递增，在上递减，在上递增，故在处取极大值.

综上所述，当或时， 无极大值；

当时， 的极大值点为；

当时的极大值点为.

（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时， .

由（1）知，①当时，函数在上递减，在上递增，

∴，

∴要使成立，必须使成立或成立，

由，解得，

由，解得.

∵，∴.

②当时，函数在上递增，在上递减，

∴，

综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立.