Question

【题目】如图，圆锥PO中，AB是圆O的直径，且AB＝4，C是底面圆O上一点，且AC＝2，点D为半径OB的中点，连接PD.

（1）求证：PC在平面APB内的射影是PD；

（2）若PA＝4，求底面圆心O到平面PBC的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由题意推导出△BOC是正三角形，CD⊥OB，OP⊥CD，从而CD⊥平面PAB，即可得证；

（2）设点O到平面PBC的距离为d，由题意可得，，由，即可得解.

（1）证明：连接CD、OC，如图：

∵AB＝4，，AC⊥BC，∴，

∵OB＝OC，∴△BOC是正三角形，

又D点是OB的中点，∴CD⊥OB，

又PO⊥平面ABC，∴OP⊥CD，

∵OP∩OB＝O，∴CD⊥平面PAB，

∴PC在平面APB内的射影是PD；

（2）由PA＝4，可知，PB＝PC＝4，

∴，，

∴，

设点O到平面PBC的距离为d，

则，解得，

∴底面圆心O到平面PBC的距离为.