Question

【题目】已知F为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，其中A在x轴上方，O是坐标原点，若，，则以AB为直径的圆的标准方程为____．

Answer 1

【答案】

【解析】

解法一：如图，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，过作于点，由抛物线的定义算出，，则可推出

，又，得，从而确定抛物线的解析式及直线的解析式，最后联立直线与抛物线的方程，由根与系数关系及弦长公式求得所求圆的圆心和半径，进而求出圆的方程；

解法二：如图，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于点，由抛物线的定义算出，，则，求出直线的斜率，然后借助点到直线的距离公式及三角形面积公式求得的值，从而确定抛物线的解析式及直线的解析式，最后联立直线与抛物线的方程，求得所求圆的圆心和半径，进而求出圆的方程．

解法一：

如图，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，过作于点，

∵，∴由抛物线的定义可得，

∴，

∵，

又，

∴，得易知，

∴直线的倾斜角为60°，∴直线的方程为，代入抛物线的方程，得．设，，则，

∴以为直径的圆的标准方程为．

解法二：

如图，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于点，

∵，∴由抛物线的定义可得，

∴，

在中，，∴，

∴直线的斜率，直线的方程为，

∵原点到直线的距离，且，

∴，∴直线的方程为，代入抛物线的方程，

得，

设，则，

∴以为直径的圆的标准方程为．

故答案为：