Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为，离心率为，过作与轴垂直的直线与椭圆交于两点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线的斜率存在且不为0，直线交椭圆于两点，若中点为，为原点，直线交于点，若以为直径的圆过右焦点，求的值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）根据离心率为，，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得椭圆的方程；（2）设，直线的方程为，代入椭圆方程可得，根据韦达定理和中点坐标公式，结合圆的性质以及平面向量垂直的坐标表示列方程，即可求出的值.

(1) 由，①

过作与轴垂直的直线与椭圆交于两点，，

, ②

又，③

由①②③解得，

椭圆方程为.

（2）设，

直线的方程为，代入椭圆方程可得，

，

点的坐标为，直线的方程为，

直线交于点，

以为直径的圆过右焦点，，

，

，

整理可得，解得.