Question

【题目】已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，椭圆 的离心率，且过抛物线的焦点.

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知， ，求证： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的方程为，椭圆的标准方程为；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）利用抛物线C1：y2＝2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；求出p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率e＝，，且过抛物线的焦点F（1，0）求出a，b，即可得到椭圆的方程；

（2）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线l的方程为y=k（x-1），N（0，-k），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及判别式，通过向量关系式即可求出λ+μ为定值．

试题解析：

（Ⅰ）抛物线的准线为， 所以,所以

抛物线的方程为

所以，,解得所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为,设直线与抛物线交于

则直线的方程为,

联立方程组:

所以 , (*)

由得:

得:

所以

将(*)代入上式,得