Question

【题目】正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y﹣5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，
（Ⅰ）求正方形中心G所在的直线方程；
（Ⅱ）设正方形中心G（x0 ， y0），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由于正方形中心G所在直线平行于直线x+3y﹣5=0，
设中心所在直线为x+3y+c=0，
由平行线间的距离公式得 = ．
解得c=1．
则正方形中心G所在的直线方程为x+3y+1=0；
（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长为d= = ．
设正方形BC，AD所在直线方程为3x﹣y+m=0，
由于中心G（x0 ， y0）到BC的距离等于 = ，
那么 = ，
解得m=±6﹣3x0+y0 ①，
又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0，即y0=﹣ ②，
把②代入①得m=±6﹣ ③，
联立方程 ，
解得 ．
由于正方形只有两个点在第一象限，那么 ，
就是 ，
解得﹣15＜m＜ ⑤，
把③代入⑤得到﹣15＜±6﹣ ＜ ，
解得 ＜x0＜ ．
故x0的取值范围为
【解析】（Ⅰ）设中心所在直线为x+3y+c=0，结合正方形的性质和平行线间的距离公式求得c的值；（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长．设正方形BC，AD所方程为3x﹣y+m=0，联立点G所在直线x0+3y0+1=0，得到 ．结合限制性条件正方形仅有两个顶点在第一象限，得到﹣15＜m＜ ，易求x0的取值范围为 ．
【考点精析】本题主要考查了两平行线的距离的相关知识点，需要掌握已知两条平行线直线和的一般式方程为：，，则与的距离为才能正确解答此题．