Question

【题目】在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角大小的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结.根据题意可得到四边形与四边形均为菱形，即可说明，再由题意说明平面，即，又，即可说明，即可说明平面.

（Ⅱ）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.令，则可写出，.即可求出平面的法向量，再由（1）知平面的法向量，代入公式即可求出二面角的平面角的余弦值，方可求出二面角大小的正弦值.

解：（Ⅰ）取的中点为，连结，，，设交于，连结.

∵，

∵四边形与四边形均为菱形

∴，∵

∵为等边三角形，为中点

∴

∵平面平面且平面平面.

平面且

∴平面

∵平面

∴

∵，分别为，的中点∴

∴

又∵

，平面

平面

（Ⅱ）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，.

，.

设平面的一法向量.

由.

令，则.

由（Ⅰ）可知，平面的一个法向量.

∴二面角的平面角的余弦值.

二面角大小的正弦值为.