Question

【题目】设椭圆的方程为，斜率为的动直线交椭圆于、两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆.

（1）求圆心的轨迹方程，并描述轨迹的图形；

（2）若圆经过原点，求直线的方程；

（3）证明：圆内含或内切于圆.

Answer 1

【答案】（1）圆心的轨迹方程为，轨迹为线段；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心的轨迹方程，并确定轨迹图形；

（2）利用弦长公式求得，以及圆的方程，代入原点，可求的值，进而可求得直线的方程；

（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立.

（1）设斜率为的动直线的方程为，

联立椭圆方程，可得，

设、，则，即，

由韦达定理得，，

则中点，可得圆心的轨迹方程为，即轨迹为线段；

（2）由（1）可得，

可得圆的方程为，

若圆经过原点，可得，解得，

因此，直线的方程为；

（3）圆的圆心设为，半径为，

圆的圆心，半径为，

由，

可令，则，

可得，

可得圆内含或内切于圆.