Question

【题目】已知函数.

（1）若在处的切线与轴平行，求的极值；

（2）当或时，试讨论方程实数根的个数.

Answer 1

【答案】（1）极大值，无极小值（2）当时，方程没有实数根；当时，方程有1个实数根

【解析】

（1），，根据在处的切线与轴平行，则，解得，然后求极值.

（2）将方程实数根的个数，转化为实数根的个数，令，转化为函数的零点问题，分， ，，三种情况，利用导数法进行分类讨论.

（1），，

由条件可得，解之得，

，，

令可得或（舍去）.

当时，；当时，.

即在上单调递增，在上单调递减，

故有极大值，无极小值；

（2）设，

则.

①当时，，当时，，当时，，

故有极大值，此时，方程没有实数根；

②当时，由可得*

由可知，*有两个实数根，

不妨设为，

则，则必有，

且当时，当时，，

即在上单调递增，在上单调递减，

故有极大值，

方程没有实数根.

③当时，，，即在上单调递增，

，，，

设，易得在上递减，且，故.

当时，，

，

即，方程有1个实数根.

综上可知，当时，方程没有实数根，

当时，方程有1个实数根.