Question

定义在R上的单调函数f (x)满足f (3) = log­₂3且对任意x，y∈R都有f (x + y) = f (x) + f (y)．

（Ⅰ）求证f (x)为奇函数；

（Ⅱ）若f (k?3^x) + f (3^x 9^x 2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解析：（1）f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)   ①

令x = y = 0，代入①式，得f (0 + 0) = f (0) + f (0)，即f (0) = 0．……２分

令y= x，代入①式，得f (x x) = f(x) + f (x)，又f (0) = 0，则有0 = f (x) + f (x)．

即f (x) = f (x)对任意x∈R成立，所以f (x)是奇函数．……５分

（2）f (3) = log₂3＞0，即f (3)＞f (0)，又f (x)在R上是单调函数，……６分

所以f (x)在R上是增函数，又由（1）知f (x)是奇函数．

f (k?3^x)＜f (3^x 9^x 2) = f (3^x + 9^x +2)，k?3^x＜3^x + 9^x +2，……８分

对任意x∈R成立．分离参数得k＜3^x +．……１０分  令u =3^x +≥，

即u的最小值为，要使对x∈R不等式恒成立，只要使．