Question

【题目】2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：

（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：

序号n	1	2	3	4	5	6	7
锻炼时长m（单位：分钟）	10	15	12	20	30	25	35

（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；

（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？

附；在线性回归方程中，，．

Answer 1

【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．

【解析】

（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；

（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出和，即可求出m关于n的线性回归方程；

（Ⅱ）根据线性回归方程，令，求出预测值，再验证是否满足，即可判断．

（1），

．

（分钟）．

（2）（Ⅰ），

，

，

，，

关于n的线性回归方程为．

（Ⅱ）当时，．

，

估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．