Question

【题目】已知椭圆的焦距为4．且过点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设，，，过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线相交于点P．证明：（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出，然后根据求出，即可得到椭圆E的方程（或直接根据点在椭圆上，以及，即可解出）；

（2）由直线l的方程可得点，联立直线l与椭圆的方程可计算出点的坐标，再根据联立直线与直线的方程可得点的坐标，然后根据斜率公式分别计算出直线的斜率，根据斜率相等，即可证得．

（1）由题可知，，，

椭圆的左，右焦点分别为，．

由椭圆的定义知，

，，

椭圆E的方程为．

（另解：由题可知，解得）．

（2）易得，，，

直线与椭圆联立，得，

，从而，．

直线AM的斜率为，直线AM的方程为．

令，得，

直线PQ的斜率．

直线OC的斜率，

，从而．