Question

【题目】已知函数.

（1）若是函数的极值点，求a的值；

（2）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；

【解析】

（1）求出函数的导数，根据极值的定义，得到关于a的方程，解出验证即可；

（2）根据不等式的性质，问题转化为只需证明，

令，对函数求导，然后判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性，结合零点存在原理进行求解即可.

解：（1），

由题意知 ，

又设

显然当时，，因此函数是增函数，

而，所以当时，单调递减，

当时，单调递增，故是函数的极小值点，故符合题意；

（2）当时，对于时，有，

即，

故要证明，只需证明，

令，即只需证明

则有，

设

则显然当时，，因此函数是增函数，

，

故存在，使得，即，

因此当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以有

又，∴，

设

则

单调递减，

因此有

故，故

原不等式得证.