Question

【题目】顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形。

（1）求椭圆的方程；

（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以为坐标原点），线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求椭圆的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由菱形的面积公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．

（1）由题可知，，

解得，.

所以椭圆的方程为.

（2）设，，，，

∵，∴，

∴，.

又∵，∴，

即，.

∵点在椭圆上，∴，

即.

∵,在椭圆上，∴，① .②

又直线，斜率之积为，∴，即，③

将①②③代入得，解得.