Question

【题目】已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．

（Ⅰ）若在区间，上的最小值为1，求的值；

（Ⅱ）若“，使”为假命题，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求得函数的导数,利用导数判断函数的单调性,求函数的极值即最值,由题意知, 函数的最小值只能在或处取得,分别解方程求解即可.

（Ⅱ）若“，使”为假命题，等价于，为真命题,即，恒成立,通过分离参数法和构造函数法,令,结合导数判断函数的单调性,由零点存在性定理求出函数的最小值,进而求出实数的取值范围即可.

（Ⅰ）由题意知,函数的导数为，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时有极大值即最大值，

即有的最小值只能在或处取得．

若（1）,解得,此时与函数最小值为1相矛盾，

故不符合题意；

若（e），解得，此时符合题意；

综上可知；

（Ⅱ）若“，使”为假命题，

即，为真命题，

等价于，可得恒成立,

化简可得，恒成立，

令,则，

令，则在上单调递增，

因为,，

由零点存在性定理知,函数在，存在唯一零点，

即有，则，

两边同时取以为底的对数可得，，

所以当时，，即，单调递减，

当时，，即，单调递增，

所以当时,函数有极小值即最小值,

，

所以实数的取值范围为．