Question

【题目】在四棱锥中，底面为菱形，，平面，且，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，则PO与CF相交，设交点为E，则AC⊥BD，PC⊥BD，BD⊥CF，PO⊥CF，由此能证明CF⊥平面PDB；

（2）过点P作PG，使得 PG=BC，则GP∥AD∥BC，从而二面角AD-P-BC，即二面角C-PG-D，在平行四边形ADGP中，过点P作AD的垂线，垂足为H，则∠HPC即所求二面角的平面角，由此能求出平面ADP与平面BCP所成锐二面角的余弦值；

（1）连接，交于点，连接，

由于，平面，所以与相交，设交点为，

∵底面为菱形，

∴，

又∵平面，

∴，∴平面，

又∵平面∴，

在中，∵，∴，，

，，

，，

∴，又因为两个角都是锐角，

∴，则，即，

∵，、平面，

∴平面

（2）过点作，使得，

∵底面为菱形，

∴，所以二面角即二面角，

在中，过点作的垂线，垂足为，则，

又∵平面，∴∴，

∴即所求二面角的平面角，

∵，∴平面∴

又∵，∴，

在中，，，，∴，

∴，即所求二面角的平面角的余弦值为.