Question

【题目】如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.

（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；

（2）设为数列的前n项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；

（3）类似地：非零数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）63.

【解析】

（1）直接利用定义求出数列为间等差数列．

（2）利用分类讨论思想，利用数列的前n项和公式求出数列的和，进一步利用不等量关系求出结果．

（3）利用分类讨论思想，进一步求出数列的通项公式，再利用函数的单调性求出k的最大值．

（1）若数列{an}满足an+an+1＝2n﹣35，n∈N*，则：an+1+an+2＝2（n+1）﹣35，

两式相减得：an+2﹣an＝2．故数列{an}是“间等差数列”，公差d＝2．

（2）（i）当n＝2k时，

（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝

易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153．

（ii）当n＝2k+1时，

Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，

当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，要使其最小值为﹣153，

则：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．

（3）易知：cncn+1＝2018（）n﹣1，则：cn+1cn+2＝2018（）n，

两式相除得：，故数列{cn}为“间等比数列”，其间等比为．，

易求出数列的通项公式为：，

由于n＞n+1，则数列{n}单调递减．那么，奇数项和偶数项都为单调递减，所以：k＞0．

要使数列为单调递减数列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，

即：，

解得，即最大的整数.