Question

【题目】已知曲线的方程为．

（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；

（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？

（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．

Answer 1

【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明

【解析】

（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；

（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．

（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.

（1）当时，，两边平方并化简得，

∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；

（2）将代入，消去，

得，由题意，，

即，解得或（舍），此时，，，

设，，，

将代入，得，则，

的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，

不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；

（3），两焦点坐标为、，，

，即，

∴，

用替换中的，

可得，∴，

∴．