Question

【题目】如图，在半径为,圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形，并且与的平分线平行，设.

（1）试将长方形的面积表示为的函数；

（2）若将长方形弯曲，使和重合焊接制成圆柱的侧面，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积（假设圆柱有上下底面）；为了节省材料，想从△中直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面，请问是否可行？并说明理由.

（参考公式：圆柱体积公式.其中是圆柱底面面积，是圆柱的高；等边三角形内切圆半径.其中是边长）

Answer 1

【答案】（1） ；（2），直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.

【解析】

试题分析：由题意得出，，则根据

，即可得到答案；

由（1）取最大值，由圆柱底面面积 ,计算得 ，然后得,边长 ，内切圆半径，由圆柱底面半径,，做出判定

解析：（1）由题意，又

，所以

所以 .

（2）由（1）取最大值时，，所以，

因为 ，设圆柱底面半径为,所以,,

所以圆柱底面面积 ,又 ,

所以

,因为,所以.

在等边△中,边长 ，内切圆半径,

由圆柱底面半径,因为,所以直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.