Question

【题目】已知数列,,且对任意n恒成立．

（1）求证:();

（2）求证:().

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析

【解析】

（1）利用数学归纳法直接证明,假设当时,成立,则当时,,将代入即可证得:当时,成立,即可求得答案;

（2）由（1）,利用数学归纳法证明,即可求得答案;

（1）当时,

满足成立.

假设当时,结论成立.即:成立

下证:当时,成立。

即:当时,成立

综上所述:()成立。

（2）①当时,成立,

当时,成立,

②假设时(),结论正确,即:成立

下证:当时,成立.

要证,

只需证

只需证:,

只需证:

即证:,().

记

当时,

在上递增,

又

当时,恒成立。

即:当时,成立。

即:当时,恒成立.

当,恒成立.

由①②可得:对任意的正整数,不等式恒成立,命题得证