Question

【题目】已知函数（自然对数的底数）有两个零点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若的两个零点分别为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）将有两个零点问题，转化为有两个零点，利用研究的单调性和零点，由此求得的取值范围.

（2）将所要证明的不等式转化为证明，构造函数，利用证得，由此证得不等式成立.

（1）有两个零点，等价于有两个零点，令，则在时恒成立，所以在时单调递增，

所以有两个零点，等价于有两个零点.

因为所以

①当时，，单调递增，不可能有两个零点；

②当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减.

所以.

若，得，此时恒成立，没有零点；

若，得，此时有一个零点；

若，得，因为，且，，所以在，上各存在一个零点，符合题意.

综上，当时，函数有两个零点，

即若函数有两个零点，则的取值范围为.

（2）要证，只需证，即证，

由（1）知，，所以只需证.

因为，，所以，，

所以，只需证.

设，令，则，所以只需证，即证.

令，，则，.

即当时，成立.

所以，即，

即.