Question

【题目】已知函数．

（1）设，求函数的单调增区间；

（2）设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线l与函数的图象也相切；

（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为（0，]；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出导函数，在函数定义域内由确定其增区间；

（2）先求出在处的切线方程，设这条切线与的图象切于点，由，得出关于的方程，然后证明此方程的解在上存在且唯一．

（3）把问题转化为在上有解，令，则只要即可．

（1）h（x）＝g（x）﹣x2＝lnx﹣x2，x∈（0，+∞）．

令，

解得．

∴函数h（x）的单调增区间为（0，]．

（2）证明：设x0＞1，，可得切线斜率，

切线方程为：．

假设此切线与曲线y＝f（x）＝ex相切于点B（x1，），f′（x）＝ex．

则k=，

∴．

化为：x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1＝0，x0＞1．

下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．

令u（x0）＝x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1，x0＞1．

，在x0∈（1，+∞）上单调递增．

又u′（1）＝－1，，

∴在上有唯一实数解，

，，递减，

时，，递增，

而，∴在上无解，

而，∴在上有唯一解．

∴方程在（1，+∞）上存在唯一解．

即：存在唯一的x0，使得函数y＝g（x）的图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与函数y＝f（x）的图象也相切．

（3）证明：，

令v（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0．

∴v′（x）＝ex﹣1＞0，

∴函数v（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，

∴v（x）＞v（0）＝0．

∴，

∴不等式，a＞0ex﹣x﹣1﹣ax＜0，

即H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax＜0，

由对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立H（x）min＜0．

H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax，a，x∈（0，+∞）．

H′（x）＝ex﹣1﹣a，令ex﹣1﹣a＝0，

解得x＝＞0，

函数H（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．

∵H（0）＝0，∴．

∴存在对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．