Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点.

（1）求二面角M—AC—D的余弦值；

（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，根据平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（2）设，由此求得，根据直线与平面所成角的正弦值列方程，解方程求得的值，进而求得.

（1）以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，

则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，M(0，，)，

＝(0，0，3)，＝(2，3，0)，＝(0，，)

因为PA⊥平面ABCD，所以平面ACD的一个法向量为＝(0，0，3)，

设平面MAC的法向量为＝(x，y，z)，所以，

即，取＝(3，﹣2，2)，

∴cos<，>＝，

∴二面角M—AC—D的余弦值为；

（2）设，其中，

∴，

∵平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，3)，

∴

∵直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，

∴，∴，

化简得，即，∴.