Question

【题目】如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.

（1）求证：；

（2）若，求锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）

【解析】

（1）连接，由已知可得四边形为正方形，则有，由面面垂直可证平面，再证平面，即可得证结论.

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算求出二面角的余弦值，即可求得答案.

（1）如图,连接

因为在直三棱柱中，平面,

所以,又，所以四边形为正方形，

所以,又因为平面侧面

平面侧面,且侧面，

所以平面,所以.

又由平面可得,且，

所以 平面，所以.

（2）由（1）知，平面,

如图，以为原点，以分别为轴，轴，

轴的正向建立空间直角坐标系.

因为，，

则有,,,,

所以,,

设向量是平面的法向量，

则,所以，

取，则是平面的一个法向量.

设向量是平面的法向量，

则,所以，

取，则是平面的一个法向量.

因为,

设锐二面角的平面角为，则，

所以，所以锐二面角的大小为.