Question

【题目】如图所示，椭圆C：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，椭圆C过点，T为直线上的动点，过点T作椭圆C的切线，，A，B为切点.

（1）求证：A，，B三点共线；

（2）过点作一条直线与曲线C交于P，Q两点.过P，Q作直线的垂线，垂足依次为M，N.求证：直线与交于定点.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先写出切线，的方程，将代入即可得到直线的方程；

（2）当PQ的斜率不存在时，易得直线与交于定点，当PQ的斜率存在时，分别写出直线，直线的方程，结合对称性以及斜率不存在的特殊情况，可知定点一定在x轴上，结合韦达定理即可解决.

（1）由已知得，，又，解得，，所以椭圆C的方程为.

由于，设，，，则切线，的方程分别为，，

由于切线，过点，所以，，

即，，所以直线的方程为.

已知直线过点，所以A，，B三点共线.

（2）当轴时，易得，，，

直线PN的方程为，即，

直线MQ的方程为，即，

直线与交于定点.

当不垂直于x轴时，设过点的直线为，联立，

得.

则，

设，，，则，，

过P，Q作直线的垂线，垂足依次为M，N，则，，

所以直线：，令，化为

.

所以直线：，令，化为.

因为，

所以，

直线与交于定点.

综上，直线与交于定点.