Question

【题目】点是直线上的动点，过点的直线、与抛物线相切，切点分别是、.

（1）证明：直线过定点；

（2）以为直径的圆过点，求点的坐标及圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）设点、、，利用导数求出切线、的方程，将点的坐标代入直线、的方程，可得出直线的方程，进而可得出直线所过的定点坐标；

（2）设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意得出，利用向量数量积的坐标运算，代入韦达定理可求得，进而可得出点的坐标以及圆的标准方程.

（1）设点、、，

对函数求导得，所以，直线的方程为，即，

同理可得直线的方程为，

将点的坐标代入直线、的方程得，

所以，点、的坐标满足方程，

由于两点确定一条直线，所以，直线的方程为，该直线过定点；

（2）设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立得，则，

由韦达定理得，，

因为在为直径的圆上，所以，

，同理，

，即，解得或.

当时，，直线的方程为，圆心为，半径，圆的标准方程为；

当时，，直线的方程为，圆心为，半径，圆的标准方程为.

综上所述，当时，，圆的标准方程为；

当时，，圆的标准方程为.