Question

【题目】函数．

（1）求函数的最大值；

（2）对于任意，且，是否存在实数，使恒

成立，若存在求出的范围，若不存在，说明理由；

（3）若正项数列满足，且数列的前项和为，试判断与

的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3) ．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的定义域、导数，由导数的符号可知函数的单调性，根据单调性即可得到函数的最大值；（2）恒成立，只需，可设，又，则只需在上为单调递减函数，从而有在上恒成立，分量参数后化为函数的最值，利用导数求解最值即可；（3）由，得，知数列为等差数列，得，比较与大小，只需比较与的大小，由（1）知，，即，分别令，可得个不等式，累加可知结论．

试题解析：(1) ,

则，

所以函数单调递减，函数单调递增．

从而

（2）若恒成立，

则，

设函数，又，

则只需函数在上为单调递减函数，

即在上恒成立，

则，

记，则，从而在上单调递减，在单调递增，

故，

则存在，使得不等式恒成立．

（3）由．

即，由，得，

因为，由（1）知时，，

故，

即