Question

已知二次函数f（x）对任意实数x均满足f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4，且f（-1）=0
（1）求f（x）的表达式；
（2）若关于x的方程f（x）=3lnx+b在[1，2]上有两个不同实数解，求实数b的取值范围；
（3）设g(x)=mlnx+

1

2

f(x+

1

2

)+

9

8

，若?x＞0，使g（x）≤0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），利用f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4及f（-1）=0，即可求f（x）的表达式；
（2）f（x）=3lnx+b，所以b=x²-x-3lnx-2，设h（x）=x²-x-3lnx-2，求导函数，确定函数的单调性，可得函数的最小值，由此可得实数b的取值范围；
（3）由题意可得g（x）=mlnx+

1

2

x2(x＞0)，对m分类讨论，确定函数的最小值，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4
∴2ax²-8ax+8a+2c=2x²-8x+4
∴a=1，c=-2
∵f（-1）=0
∴a-b+c=0
∴b=-1
∴f（x）=x²-x-2
（2）f（x）=3lnx+b，∴b=x²-x-3lnx-2
设h（x）=x²-x-3lnx-2，则h′（x）=

(2x-3)(x+1)

x

∴当x∈[1，

3

2

）时，h′（x）＜0；当x∈（

3

2

，2]时，h′（x）＞0
∴函数h（x）在（1，

3

2

）上是减函数；在（

3

2

，2）是增函数；
∴h（x）的最小值为h（

3

2

）=-

5

4

-3ln

3

2

又h（1）=-2，h（2）=-3ln2
∵-2＞-3ln2
∴b∈(-

5

4

-3ln

3

2

，-3ln2]；
（3）由题意可得g（x）=mlnx+

1

2

x2(x＞0)
①当m＞0时，g（x）是增函数，显然?x＞0，如x=e-

1

m

使得g（x）≤0，所以m＞0符合题意； 
②当m=0时，g（x）=

x2

2

＞0恒成立，所以m=0不符合题意
③当m＜0时，g′（x）=

(x- -m )(x+ -m )

x

∴g（x）在（0，

-m

）为减函数，在（

-m

，+∞）为增函数；
∴g（x）_min=g（

-m

）=-

m

2

+mln

-m

≤0
∴m≤-e
∴m∈（-∞，-e]∪（0，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查存在性问题，用好导数是关键．