Question

【题目】已知函数.

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)设， ，

证明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)： ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1) 求导,易得结果为;

(2) 原不等式等价于,令,,令,分, ,三种情况讨论函数的单调性,则可得结论;

(3) 利用定积分求出m的值,由(2)知,当时, ,则, 令, ,求导并判断函数的单调性,求出, 即在上恒成立, 令,则结论易得.

试题解析：

(1) ， ，∴切线为

(2) ，令

则

又令

①当，即时， 恒成立，∴递增

∴，∴，∴递增

∴ (不合题意)

②当即时， 递减，

∴，∴，∴递减

∴ (符合题意)

③当，即时，由

，∴在上， ，使

且时， ，∴递增，∴ (不符合题意)

综上： .

(3)

∴，由(2)知，当时， ，∴，

又令， ，∴递减

即在上恒成立，令

∴原不等式

∴左式右式

∴得证.