Question

【题目】已知函数f（x）=，g（x）=xlnx．

（Ⅰ）若函数g（x）的图象在（1，0）处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；

（Ⅱ）当k=0时，证明：f（x）+g（x）＞0；

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据导函数的几何意义求得函数g（x）的图象在（1，0）处的切线l的方程，将其方程与函数f（x）的解析式联立，得到关于x的一元二次方程，由条件可知此方程有一个解，判别式等于0，可求得实数k的值；（Ⅱ）证法一：当k=0时，构造函数F（x）=f（x）+g（x）= ，求导判断函数F（x）在（0，+∞）上的单调性，进而得其最小值，判断最小值大于0即可。证法二：对于函数g（x）=xlnx，求导判断其单调性，可求其最小值，当k=0时， ，配方可求其最小值。进而可得f（x）+g（x）＞

，可证明要证不等式。

（Ⅰ）g（x）的导数g′（x）=1+lnx，斜率为g′（1）=1，切点为（1，0），则直线l：y=x﹣1，

联立y=x2+（k﹣1）x﹣k+，可得x2+2（k﹣2）x﹣2k+5=0，

由l与f（x）的图象相切，可得△=4（k﹣2）2﹣4（5﹣2k）=0，解得k=1±；

（Ⅱ）证法一：当k=0时，F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+x2﹣x+，

F′（x）=lnx+x，x＞0，显然F′（x）在（0，+∞）递增，

设F′（x0）=0，即lnx0+x0=0，易得x0∈（0，1），

当x∈（0，x0），F′（x）＜0，F（x）递减，当x∈（x0，+∞），F′（x）＞0，F（x）递增．

F（x）的最小值为F（x0），且为x0lnx0++x02﹣x0+=x0（﹣x0+x0﹣1）+

=﹣x02﹣x0+=﹣（x0+3）（x0﹣1），由x0∈（0，1），F（x0）＞0，

故F（x）＞0恒成立，即f（x）+g（x）＞0恒成立；

证法二：g′（x）=1+lnx，x∈（0，），g′（x）＜0，g（x）递减，

x∈（，+∞），g′（x）＞0，g（x）递增，则g（x）在x=处取得最小值﹣，即g（x）≥，

又k=0时，f（x）=x2﹣x+=（x﹣1）2+1≥1，则f（x）+g（x）＞1﹣＞0恒成立；