Question

【题目】如图,已知椭圆的离心率为,分别是椭圆的左右焦点,点是椭圆上任意一点,且.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)在直线上是否存在点Q,使以为直径的圆经过坐标原点O,若存在,求出线段的长的最小值,若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ)存在,最小值是

【解析】

(Ⅰ) 根据椭圆的定义可得，，又离心率，可以解出，再根据求出，即可得到椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 假设在直线上存在点，则，即，根据点如可求出点坐标，即说明存在；根据距离公式可求出，结合点是椭圆上任意一点可得，消去，由基本不等式即可求出的最小值，并求得点坐标．

(Ⅰ)设，，，则．

∵点是椭圆上任意一点，且．

∴．∴．∴．

∵，∴．

∴所求椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)假设在直线上存在点Q，使以为直径的圆经过坐标原点O，

则．∴．

设，，则．

∴．

当时，以为直径的圆不经过坐标原点O．

当时，．

∴

∵点在椭圆上，∴．∴．

∴．

，当且仅当或时取等号，此时，

所以，的最小值是．

所以，在直线上存在点，使以为直径的圆经过坐标原点O，且线段PQ的长的最小值是．