Question

【题目】已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于的直线．

（1）以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求与的极坐标方程；

（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，当时，求的直角坐标方程．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）将曲线的方程化为，即可将曲线的方程化为极坐标方程，利用，可将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；

（2）设曲线的极坐标方程为，将曲线与、与极坐标方程分别联立，可求出和关于的表达式，并代入等式，求出的值，即可得出曲线的直角坐标方程.

（1）曲线的方程为，整理得，

转换为极坐标方程为，即.

曲线的方程为，转换为极坐标方程为；

（2）因为曲线是一条经过原点且斜率大于的直线，

设曲线极坐标方程为，

由于与的一个公共点（异于点），故，所以，

与的一个公共点为，，所以．

由于，所以，

即，

锐角满足，，此时，，

，，，则，

，，

，因此，曲线的直角坐标方程为．