Question

【题目】已知函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点.

（1）求的表达式和的递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），的递增区间为，.（2）

【解析】

（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为，可得周期，从而得，再代入坐标得；

（2）由三角函数图象变换得，题意转化为的图象与直线在上只有一个公共点，结合函数图象易得结论．

（1），

的最小正周期为，∴.

∵的图象过点，∴，∴，

即.

令，，，，

故的递增区间为，.

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.

∵，∴，∴，故在区间上的值域为.

若函数在区间上有且只有一个零点，

即函数的图象和直线只有一个公共点，

如图，

根据图象可知，或，即.

故实数的取值范围是.