Question

【题目】已知椭圆的实轴长为4，焦距为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点M，N（异于椭圆的左顶点），设点Q是x轴上的一个动点．直线QM，QN的斜率分别为，，试问：是否存在点Q，使得为定值？若存在．求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在x轴上存在点，使得为定值．

【解析】

（1）根据实轴长为4，焦距为直接代入即可

（2）当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意；所以直线l的斜率k存在，设直线l的方程为，把它和椭圆方程联立，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，代入到中，令对应项系数成比例即可.

解：（1）设椭圆C的半焦距为c．

因为椭圆C的长轴长为4，焦距为，

所以，

解得．则．

故椭圆C的标准方程为

故答案为：．

（2）假设存在满足条件的点，

当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意；所以直线l的斜率k存在，设直线l的方程为．

联立，

得，．

设点，，

则，

，

要使为定值．则需满足，

解得．

此时．

所以在x轴上存在点，使得为定值