Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若，时，恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)求出，求出切点处的导数值，即为切线的斜率，求出，由直线的点斜式方程可求出切线的方程.

(2)分为和两种情况进行讨论，，运用导数求出当，，三种情况下的的最值，从而可求出参数的取值范围.

（1）由，得，

所以，.

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）当时，，则时，恒成立.

当时，，， 当时，恒成立；

当，时，恒成立等价于.

令，则，

设，则，，，

所以在上递增，所以的值域为，

①当，即时，，为上的增函数，

所以，符合条件；

②当，即时，，为上的减函数，

所以当时，，不符合条件，舍去；

③当，即时，存在，使，且时，，此时，不符合条件，舍去

综上，所求的m的取值范围为.