Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2.

（1）求证：AB1∥平面A1CD；

（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】

（1）连AC1交A1C于点E，连DE.证明DE∥AB1，然后证明AB1∥平面A1CD；

（2）∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角，可得 A1D⊥平面CDB1B，求出四棱锥的底面积与高，即可求解体积.

（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE.

因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，

又D是B1C1的中点，故DE∥AB1，

又AB1平面A1CD，DE平面A1CD，故AB1∥平面A1CD.

（2）由（1）知DE∥AB1，又C1D∥BC，故∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角.

设AC＝2m，则，

故△C1DE为等腰三角形，故∠C1DE＝60°，故△C1DE为等边三角形，则有，得到m＝1.

故△A1B1C1为等腰直角三角形，故A1D⊥C1B1，

又B1B⊥平面A1B1C1，A1D平面A1B1C1，故A1D⊥B1B，

又B1B∩C1B1＝B1，故A1D⊥平面CDB1B，

又梯形CDB1B的面积，

则四棱锥A1﹣CDB1B的体积.