Question

【题目】椭圆：中，，，，的面积为1，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上一点，、是椭圆的左右两个焦点，直线、分别交于、，是否存在点，使，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，的横坐标为或或．

【解析】

（Ⅰ）由三角形的面积公式可得，结合两点的距离公式解得，，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）假设存在点，使，设，求得的坐标，过作轴的垂线交轴于，运用三角形的面积公式和三角形的相似性质，结合坐标运算，解方程可得所求值．

解：（Ⅰ）由题意可得，的面积为，

又，可得，解得，，

则椭圆的方程为；

（Ⅱ）假设存在点，使，

设，与轴交于，过作轴的垂线交轴于，

又，，

由，

可得，

即，

可得，则，

即，可得，或，

又，则或，

故存在，且的横坐标为或或．