Question

【题目】已知.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若使得都有恒成立，且，求满足条件的实数的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】

（1）求出的定义域，然后对求导，再分和两种情况求出单调区间即可；

（2）根据条件可知，函数存在最小值且，求出的最小值，求出使得时，的值即可．

解：（1）由，得.

①当时，在上恒成立，

在上单调递增；

②当时，由得，由，得，

在上单调递减，在上单调递增.

综上：①当时，在上单调递增，无递减区间；

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由题意函数存在最小值且，

①当时，由（1）上单调递增且，

当x时，，不符合条件；

②当时，在上单调递减，在 上单调递增，

，

只需即，

记则，

由得，由得，

在上单调递增，在上单调递减，

，

即满足条件的取值集合为.