Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

(1)求函数的极值；

(2)问：是否存在实数,使得有两个相异零点？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①当时，函数无极值.②当时,函数有极小值为,无极大值；(2)存在,

【解析】

(1)对函数求导,根据的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数的极值；

(2)根据的不同取值范围,进行分类讨论,结合、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出的取值范围.

解：(1)因为,所以.

①当时，，

所以时,,所以函数在上单调递减.

此时，函数无极值.

②当时,令，得,

当时,,所以函数在上单调递减；

当时,,所以函数在上单调递增.

此时,函数有极小值为,无极大值.

(2)存在实数,使得有两个相异零点.

由(1)知：①当时,函数在上单调递减；

又,所以此时函数仅有一个零点；

②当时，.

因为,则由（1）知；

取,令,

易得,所以在单调递减,

所以,所以.

此时,函数在上也有一个零点.

所以,当时,函数有两个相异零点.

③当时,,，

此时函数仅有一个零点.

④当时,,因为,则由(1)知；

令函数,易得,

所以,所以,即.

又,所以函数在上也有一个零点,

所以,当时,函数有两个相异零点.

综上所述,当时,函数有两个相异零点.