Question

【题目】已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点，

（1）证明:平面PBD平面ABCD；

（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在N点到平面ABCD的距离为

【解析】

（1）通过证明，结合题目所给已知，由此证得平面，进而证得平面平面.

（2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点，使平面，利用向量线性运算设出点坐标，结合求得点坐标，由此证得存在一点，使得平面.利用点到平面距离的向量求法，求得点到平面的距离.

（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，

可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.

∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,

又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.

(2) 存在.在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,

∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO=

∴易得OP=OC=，PB=PD,PO⊥BD,所以O为BD的中点，OC⊥BD.

以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C（0,，0）D(-1,0,0),P（0,0,）假设在侧面内存在点，使得平面成立，

设，易得 由得，满足题意，所以N点到平面ABCD的距离为