Question

【题目】已知函数，为的导函数，其中.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若方程有三个互不相同的根0，，，其中.

①是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

②若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)①实数不存在；②.

【解析】分析：（1）直接利用导数求函数的单调区间.(2) ①根据已知得到，，，再化简得到. ②对t分类讨论，求，再解

，即得t的取值范围.

详解：（1）当时，，

令，得或，

所以的单调增区间为和；

令，得，

所以的单调减区间为.

（2）①由题意知，是方程的两个实根，

所以，得.

且，，，

由成立得，，

化简得，

代入得，即，

解得，因为，所以这样的实数不存在.

②因为对任意的，恒成立.

由，，且，

1.当时，有，所以对，，

所以，解得.

所以.

2.当时，有，

，其判别式.

由，得或，

此时存在极大值点，且.

由题得，

将代入化简得，解得.

因此.

综上，的取值范围是.