Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）不需证明，直接写出的奇偶性：

（Ⅱ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点：

（Ⅲ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）奇函数；（Ⅱ）在和上单调递增；证明见解析；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

（Ⅰ）先计算出函数的定义域，然后根据简单函数的奇偶性，简单判断可得结果.

（Ⅱ）计算函数，可得函数在和上单调递增，然后利用零点存在性定理以及函数的奇偶性，可得结果.

（Ⅲ）简单判断可知点在曲线上，计算直线的斜率以及曲线在点处切线的斜率和曲线在点处切线的斜率即可.

（Ⅰ）定义域为，函数为奇函数．

（Ⅱ）因为，

由（Ⅰ）知，为奇函数，且

所以，在和上单调递增．

在上，，

所以在上有唯一零点，即．

又为奇函数，．

故在上有唯一零点．

综上，有且仅有两个零点．

（Ⅲ）因为，故点在曲线上．

由题设知即，连接，

则直线的斜率

曲线在点处切线的斜率是；

曲线在点处切线的斜率也是．

所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．