Question

【题目】已知函数．

（1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；

（2）证明：当时，函数有两个零点，且满足．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先利用导数的几何意义和函数求出公切线方程，再将公切线方程与函数联立，表示，再构造函数利用导数求出其单调区间和值域，可求出a的取值；

（2）要证有两个零点，只要证有两个零点即可，而时函数的一个零点，所以只需再利用导数研究此函数的性质即可，由于两个零点，一个是，另一个在区间上，若设则， 所以只需利用导数证明即可 .

解：（1）设公切线l与函数的切点为，则公切线l的斜率，公切线l的方程为：，将原点坐标代入，得，解得，公切线l的方程为：，

将它与联立，整理得．

令，对之求导得：，令，解得．

当时，单调递减，值域为，

当时，单调递增，值域为，

由于直线l与函数相切，即只有一个公共点，

故实数a的取值集合为．

（2）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．，即时函数的一个零点．

对求导得：，令，解得．当时，单调递增；

当时，单调递减．当时，取最小值，，，必定存在使得二次函数，

即．因此在区间上必定存在的一个零点．

练上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．

下面证明．

由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．

不妨设则，下面证明即可．

令，对之求导得，

故在定义域内单调递减，，即．