Question

【题目】2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球_，已知这种球的质量指标ξ（单位：）服从正态分布.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以或取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为.

（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在内的排球个数（计算结果取整数）

（2）第10轮比赛中，记中国队取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为p的值，解决下列问题.

（i）在第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列；

（ii）已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：，则，

，.

Answer 1

【答案】（1）477个；（2）；（i）见解析；（ii）能提前一轮夺得冠军，.

【解析】

（1）由正态分布原则即可求出排球个数；

（2）根据二项分布先求出，再利用导数求出取最大值时的值；根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出其分布列；由的分布列分析即可得出能否提前一轮夺得冠军并求得其概率.

解：∵，∴

所以质量指标在内的排球个数约为个

（2），.

令，得.

当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数.

所以的最大值点.从而.

的可能取值为.

，

，

，

，

的分布列为

	3	2	1	0

若，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，，所以，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为.