Question

13．如图，椭圆C：x ²+3y ²=a²（a＞0）．
（Ⅰ） 求椭圆C的离心率；
（Ⅱ） 若a=$\sqrt{6}$，M，N是椭圆C上两点，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求△MON面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）化成标准方程，代入离心率公式计算即可；
（II）对直线MN的斜率讨论，设方程为y=kx+b，联立方程组，根据弦长公式k，b的关系，利用△＞0得出k的范围，求出O到直线MN的距离d的范围即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ） 由椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{3}}=1$，
∴c²=a²-$\frac{{a}^{2}}{3}$=$\frac{2{a}^{2}}{3}$，即c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）a=$\sqrt{6}$时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
显然直线MN的斜率存在．
（1）当k=0时，把x=$\sqrt{3}$代入椭圆方程得y=1，
∴O到直线MN的距离为1，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$，
（2）当直线MN斜率不为零时，设直线MN的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
∴△=36k²b²-4（1+3k²）（3b²-6）＞0，解得b²＜6k²+2，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6kb}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{\frac{36{k}^{2}{b}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12（{b}^{2}-2）}{1+3{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•2\sqrt{18{k}^{2}-3{b}^{2}+6}}{1+3{k}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{6{k}^{2}-{b}^{2}+2}$=1+3k²，
整理得b²=$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$，
∴$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$＜6k²+2，解得k²≥0．
∵O到直线MN的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d²=$\frac{{b}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=1-$\frac{4}{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}}$．
∴d²＜1，即d＜1，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×d$$＜\sqrt{3}$．
综上，△MON面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．